解開十道難題的記錄，其實是一本錯題集
OpenAI 的 Astra 丟掉了一份已完成的證明
前言
8 月 1 日，OpenAI 宣布其下一代模型 Astra 的內部版本解開了十道數學與理論電腦科學難題。國內媒體的標題幾乎都聚焦在同一個數字上：289 萬韓元。
但那天發布的文件不只一份。有一份 249 頁的論文整理了結果，有一個供機器驗證的形式化證明儲存庫，還有一份 62 頁的文件。標題是「How the Ideas Came Together」，也就是「想法是如何匯聚的」。
讀者 您好，打開這份文件會覺得有點奇怪。裡面幾乎沒有提到正確答案，反而不斷出現「為什麼這個方法行不通」。
先說結論。這次發布中真正新的，不是 AI 找到了答案，而是它把通往答案的路上擦除的軌跡，單獨整理成文件公開了。
先來認識一下，這十道題是什麼
不需要完全理解內容，只要對問題類型有個概念就夠了。
| # | 問題 | 簡單來說 |
|---|---|---|
| 1 | 高維球填充 | 把球密集堆疊時，最多能填滿多少空間 |
| 2 | 二元・球面碼 | 能容錯的碼最多能設計出多少種 |
| 3 | 非阿貝爾群 | 是否存在無法用有限混合來模擬的無限對稱結構 |
| 4 | 康涅斯剛性猜想 | 能否僅憑一個結構的「影子」來還原它 |
| 5 | 算術電路複雜度 | 特定計算至少需要幾次乘法 |
| 6 | 量子並行重複 | 同一個遊戲玩多次，獲勝機率會急劇下降嗎 |
| 7 | 最近鄰向量問題 | 在格點中找最接近的點有多困難 |
| 8 | 埃爾哈特體積猜想 | 特定條件下的圖形最大體積是多少 |
| 9 | 多色拉姆齊數 | 不管用多少種顏色，最終是否一定出現同色三角形 |
| 10 | 極值圖論 | 在避開特定形狀的前提下，最多能畫多少條邊 |
第 3 題和第 4 題分別自 1999 年和 1980 年代起就是未解問題，第 9 題和第 10 題則是厄多斯遺留問題清單中的第 183、146、180 號。答案的形式也各不相同，有的是全新證明，有的是推翻長期被認為為真的猜想的反例。
cdn.openai.com補充一個小細節。OpenAI 把結果計為 10 項，但詳細過程文件有 12 個章節。第 5 題被拆成電路和公式兩部分，第 10 題被拆成兩篇極值圖論。形式化證明儲存庫也是把 12 個終點歸併為 10 個結果。這不是大問題，但知道「10」這個數字是編輯後的單位而非自然單位，會比較有意義。
詳細過程文件實際展示了什麼
現在進入正題。我讀完那 62 頁文件後數了一下，12 個章節中有 10 個是以失敗的方法論開頭的。章節標題就是如此。「為什麼第一個點火公式是錯的」、「一段漫長且有價值的失敗路徑」、「為什麼看似明顯的歸約無法成立」。
失敗的形態各不相同。我分成四類來談。
類型一：看似合理的類推是錯的
第 2 章，糾錯碼問題。
模型從結構相似的其它問題中借用了公式來套用。形式看起來是對的。但他們把它代入了一個極小的案例——長度為 8 的碼。
公式給出的上界是 508 除以 7，約 72.6。但那個碼實際上存在 128 個。等於在 128 個存在的情況下說「最多只有 72 個」。
這不是誤差，而是死刑判決。上界小於實際值，意味著計算中某處存在結構性錯誤。文件這樣總結：這不是無害的歸一化問題，而是指出了結構性錯誤。
用修正後的公式重新計算，得到約 261.8。大於 128，現在合理了。
這裡令人印象深刻的不是「修正了」，而是它自己找到了能殺死自己想法的最小案例並代入驗證。
類型二：捷徑毀掉了目的地
第 10 章，拉姆齊數問題。目標是用不同顏色著色，使得不出現同色三角形。
模型想到了一條捷徑。利用排列，可以用 k 種顏色生成 k 階乘個點。10 種顏色就是 360 萬個。非常高效。
但驗證後發現，這種方式下三個排列可以把同一個位置移到三個不同的位置。而它們恰好構成了同色三角形。原本要阻止的，恰恰是它自己創造出來的結構。
類似的情況在第 5 章也發生了。為了證明計算量的下界，他們在每一項中加入了修正，但修正所需的乘法次數恰好等於證明要獲得的乘法次數。贏了等於輸了，什麼都沒剩下。
類型三：不是失敗，而是證明了失敗
第 1 章，球填充。這是最有趣的。
模型用標準不等式來逼近目標值。但在目標值的一半附近停住了。通常這時候會想「再調調常數應該就行了」。
模型做了不同的事。它用反例證明了沿那個方向無法達到目標值。文件的診斷是：這不是優化不足的常數問題。只量測整體大小的工具，會忘記問題出在哪裡。
不是被卡住了，而是證明了自己確實被卡住了。 於是他們沒有繼續調常數，而是換了工具本身，從那時候起才有了進展。
在實務中這個差異很大。「還沒做到」和「這個方向行不通」會完全改變下一步的行動。
類型四：完成了卻丟掉的
第 8 章，與格點密碼學相關的最近鄰向量問題。標題中摘出的重點就在這裡。
模型沿著在數域上使用有符號直方圖的路徑推進，走完了全程。文件明確指出這條路徑提供了完整的構造。也就是說，這是一個成立的證明。
但最終版本採用的不是它。而是特徵為 2（也就是加法只剩奇偶的世界）中重新設計的版本。有符號直方圖變成了奇偶表，複雜的抵消變成了奇偶性。達到同樣結論，但組件數量大幅減少。
第 9 章直接將整個章節分配給失敗。標題是「一段漫長且有價值的失敗路徑」。那條路徑精確地找到了正確的答案圖形。但它無法解釋該圖形體積上的階乘。答對了，但給不出理由。文件將此歸類為失敗，但也寫道它仍然有價值，因為它揭示了為什麼需要那個階乘。
同一章裡還有一段更精彩的。中間模型寫道：在這裡，把兩個函數視為相同的誘惑非常大。然後它立刻舉了一個反例，殺死了那個誘惑。並補充說，如果那樣做了，就會從錯誤的等同關係中推導出證明。
第 12 章從一開始就很坦誠。章節的第一句是「我們最初試圖找到一個證明」。而那一章以一個反例結尾。也就是說，他們出發時甚至不知道答案是對是錯。
那麼，這些結果的適用範圍到底有多大
這裡要暴露一下我的職業病了。對成果的宣稱，永遠要先看範圍。
國內不少報導把最近鄰向量問題與後量子密碼學聯繫起來。方向是對的。但看那個結果處理的維度——是輸入大小的 401 次方。401 次方可能沒有直覺，就算輸入只有 10，也是 1 後面跟 401 個零。宇宙中的原子數大約是 1 後面跟 80 個零。詳細過程文件沒有隱瞞這一點，直接寫了：這個論證關乎多項式時間的可計算性，而非實用效率。這不是對目前使用的密碼的攻擊。
第 9 題的拉姆齊結果也類似。新獲得的下界要有意義，顏色數必須在 342 以上。少於這個數，早已已知的平凡下界反而更強。第 5 題的電路下界則是在矩陣規模達到 6 萬 5 千以上才成立。
形式化驗證也是如此。OpenAI 表示所有結果都用 Lean1 進行了形式化，沒有未完成目標，且只使用了標準公理。這是很有力的依據。但儲存庫標註的審查狀態是「代理已審查」。而且機器驗證的是邏輯推導，而非形式化命題是否與原始問題是同一命題。那個對照仍然需要人來完成，而且尚未經過同行評審。
英國數學家托馬斯・布魯姆對這次發布的反應是「令人震驚的消息」。而陶哲軒則一直以來有另一種擔憂：AI 生成的證明在快速增加，但人類理解並接受它們的速度跟不上——他稱這種狀態為「證明消化不良」。
這兩種反應並不矛盾，這正是當前局勢的核心。結果是真實的，和學術界能否消化它，是兩回事。6 月 2 日國際數學聯盟支持的萊頓宣言2所要求的，恰恰就是這一點：可驗證性、來源標註，以及對誰做了什麼的誠實記錄。
從這個角度看，OpenAI 在發布文件中寫的一句話值得注意：在完全由 AI 生成的證明上掛上人類作者，會同時扭曲系統貢獻和人類的智識工作。企業主動否認自己的作者權，這並不常見。
奧斯瓦爾德的視角
我認為這次發布中最珍貴的產出，就是那本 62 頁的錯題集。
在做 GTM 策略專案時，我每次都面對同一個場景。最終產出是一頁建議案。但實際工作時間的七成以上，花在了淘汰那些無法進入那一頁的候選方案上。為什麼這個渠道行不通，這個定價結構在哪裡崩潰，先打這個客群為什麼會卡住下一步。
問題在於，那七成不會留在文件裡。被審查過但排除的方案會被推到附錄，或者根本消失。發布會上沒有人會問那些。於是發生了什麼呢？六個月後，另一個團隊把完全相同的方案當作新想法端了上來。組織在反覆購買同一個錯誤。我在多家公司見過這個場景，每次都得出同一個結論：組織真正的資產不是被採納的方案，而是被棄用方案的原因。
這次發布有趣的地方在於，它翻轉了這種不對稱。只展示成功，就無法回答「是不是運氣好碰對了」這個問題。但如果你把哪些路被擦除了、為什麼擦除，一併呈現出來，讀者就能追蹤判斷的軌跡。這就是信任的基礎。
還有一點。我一直對只收集成功案例來賣的市場感到不安。那類內容總是從結果倒推故事。而這份文件是反過來的。被擦除的路徑以清單形式保留著，讀者就有了自行驗證的空間。我認為這種形式應該成為 AI 生成成果宣稱的標準。
有一件事要說清楚。這份文件不是實際思考過程的記錄。它是另一個 AI 模型閱讀原始記錄和最終論文後重新構建的敘述。事後整理的故事總是會比實際過程更光滑。所以這更接近一本寫得好的回憶錄，而非實驗筆記。但即使如此，也比什麼都沒有好得多。
結語
用三句話總結。
- 除了正確答案的論文外，還有一份 62 頁的文件，專門整理了被擦除的路徑。12 個章節中有 10 個以失敗的方法論開頭。
- 失敗的形態有四種：類推是錯的、捷徑毀掉了目的地、證明了自己確實被卡住、完成了卻丟掉了。
- 實際適用範圍很窄。能力的躍升和應用的躍升是不同的維度。
讀完後我建議做一件事。如果你這週做了某個決定，在採納的方案旁邊，用兩行字寫下被棄用的方案和棄用的原因。六個月後，那兩行字會幫你省下一個小時的會議時間。
如果你所在組織有把「審查過但行不通的原因」實際記錄成文件的習慣嗎？如果有，是什麼形式？如果沒有，卡在哪裡？歡迎在留言區分享。如果案例夠多，下一期我會整理成一份關於保留淘汰記錄的實務格式。
💬 如果你有用來記錄被棄用方案的方法，歡迎在留言區分享
📨 如果你身邊有同事正在第二次審查同一個結論，請把這篇文章轉發給他們
參考資料 & 延伸閱讀
核心來源
- OpenAI, “Ten advances in mathematics and theoretical computer science,” 2026 年 8 月 1 日。 連結 ··· 包含十項結果清單和作者權立場的原文。建議至少直接閱讀最後「對數學界的責任」段落。
- OpenAI, How the Ideas Came Together, 62 頁, 2026 年 8 月 1 日。 連結 ··· 本文的核心依據。跳過公式，只需瀏覽各章節前兩節的標題，就能看出這份文件的性質。
- OpenAI, Ten Advances in Mathematics and Theoretical Computer Science, 249 頁。 連結 ··· 結果正文。看看第 8 章末尾的維度計算，對適用範圍的討論會更具體。
- OpenAI, “ten-proofs” 形式化證明儲存庫, GitHub。 連結 ··· 10 個結果被拆分為 12 個形式化終點。建議直接查看審查狀態的標註。
背景知識
- Leiden Declaration on Artificial Intelligence and Mathematics, 2026 年 6 月 2 日。 連結 ··· 國際數學聯盟支持的宣言。發布 24 小時內就有超過 1,000 人簽名。建議在閱讀本次發布前先了解這份宣言。
- Henry Cohn and Noam Elkies, “New upper bounds on sphere packings. I,” Annals of Mathematics 157 (2003), 689–714. 連結 ··· 2003 年的論文，提出了第 1 題結果所達到的門檻。閱讀第 1 章和第 2 章後，就能定位本次結果的位置。
